向量計算器

分類：線性代數
- 2025年09月09日
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計算向量運算，包括加法、減法、點積、叉積等。此計算器支持 2D 和 3D 向量，並提供逐步計算詳情。

向量輸入

向量 1
向量 2

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關於向量運算

向量是具有大小和方向的數學對象。它們在物理學、工程學、計算機圖形學和許多其他領域中是基本的。此計算器支持 2D 和 3D 空間中的常見向量運算。

主要向量運算
  • 加法：將兩個向量的對應分量相加，得到一個新的向量。
  • 減法：從一個向量中減去另一個向量的分量，對於尋找位移向量很有用。
  • 點積：兩個向量的標量積，給出一個單一數字，與向量之間的角度有關。
  • 叉積：產生一個垂直於兩個輸入向量的向量（僅限於 3D）。
  • 大小：向量的長度，使用畢氏定理計算。
  • 標準化：創建一個單位向量（長度為 1），指向與原始向量相同的方向。
  • 向量之間的角度：使用點積公式計算。
  • 投影：將一個向量投影到另一個向量上，對於物理學和圖形學很有用。
  • 標量乘法：將一個向量乘以一個標量，改變其大小但不改變方向。
應用

向量計算在許多領域中至關重要：

  • 物理學（力、速度、場）
  • 工程學（結構分析、電路）
  • 計算機圖形學和遊戲開發
  • 機器人技術和導航
  • 機器學習和數據分析
  • 幾何學和線性代數

向量加法：

$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z) $$

點積：

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

叉積：

$$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x) $$

向量的大小：

$$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$

向量之間的角度：

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right) $$

向量投影：

$$ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $$

正規化：

$$ \hat{a} = \frac{ \vec{a} }{|\vec{a}|} $$

標量乘法：

$$ k\vec{a} = (k \cdot a_x,\ k \cdot a_y,\ k \cdot a_z) $$

什麼是向量計算器？

向量計算器是一個易於使用的在線工具，幫助您在2D和3D空間中執行基本的向量運算。它涵蓋了向量加法、減法、點積、叉積、大小、正規化、向量之間的角度、投影和標量乘法等計算。這使得它對學生、教育工作者、工程師以及任何從事線性代數或物理的人都非常有用。

如何使用向量計算器

  • 選擇維度數：2D或3D。
  • 從下拉菜單中選擇您想要執行的向量運算。
  • 輸入向量分量和標量（如果需要）。
  • 使用選項設置小數精度、顯示計算步驟或可視化向量。
  • 點擊計算按鈕以獲得結果。
  • 點擊重置以開始新的計算。

主要特點

  • 逐步結果：清楚地解釋計算的每個階段。
  • 支持2D和3D：選擇適合您問題的維度。
  • 互動可視化：在實時畫布上查看您的向量和結果。
  • 多功能運算：從簡單的向量加法到叉積和投影。
  • 精度控制：根據您的需求調整小數位數。

為什麼使用這個計算器？

向量數學在許多學科和工作領域中都是必不可少的。這個計算器簡化了過程，讓您專注於問題，而不是數學。無論您是在物理學中進行力分析、在計算機圖形學中處理方向數據，還是在解決線性代數問題，這個工具都能快速提供準確的答案。

您還可以將其與其他工具配合使用，例如向量加法工具來探索向量如何結合，或使用向量大小工具來隔離向量長度。在處理更廣泛的矩陣相關問題時，您可能會發現LU分解計算器、QR分解工具和矩陣逆工具等工具非常有用。

常見問題 (FAQ)

什麼是向量？

向量是一種同時具有大小（長度）和方向的量。向量在2D或3D空間中用坐標表示，例如 (x, y) 或 (x, y, z)。

我可以用這個工具解決物理問題嗎？

可以。它對解決涉及力、速度、位移和其他與向量相關的物理量的問題非常有用。

點積和叉積有什麼區別？

點積的結果是一個標量值，與兩個向量之間的角度有關。叉積產生另一個向量，該向量與原始的兩個向量垂直（僅在3D中）。

如果我只需要將向量乘以一個數字怎麼辦？

使用標量乘法選項來按常數值縮放向量（例如，將其長度加倍）。

我可以查看計算是如何進行的嗎？

可以。在計算之前勾選“顯示計算步驟”框以查看詳細的分解。

您可能會發現有用的相關工具

  • 向量標量乘法計算器 – 輕鬆將向量乘以標量。
  • 點積計算器 – 快速計算標量積。
  • 叉積計算器 – 處理3D向量乘法。
  • 矩陣逆計算器 – 用於通過矩陣解決向量系統。
  • LU矩陣分解工具 – 將矩陣分解為下三角和上三角組件以解決系統。

這個向量計算器是一個實用且可靠的工具，適合任何學習或使用向量的人。它支持廣泛的運算，並以清晰且具資訊性的方式呈現結果。