行列式計算器

分類：線性代數
- 2025年4月2日
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什麼是行列式？

行列式是一個可以從方陣的元素計算出的標量值。它在線性代數中扮演著至關重要的角色，特別是在解決線性方程組、尋找矩陣的逆以及判斷一個矩陣是否是奇異（不可逆）的方面。行列式提供了對矩陣性質的洞察，例如在變換中的縮放、方向和體積變化。

例如，2×2 矩陣的行列式：

\[ \text{如果 } A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \text{ 那麼 } \text{det}(A) = ad - bc \]

行列式計算器的主要特點

  • 支持從 2×2 到 10×10 的矩陣大小。
  • 提供隨機填充或創建單位矩陣的選項，以便快速設置。
  • 使用高斯消元法顯示逐步計算過程。
  • 使用 MathJax 渲染矩陣和計算，以獲得乾淨的數學格式。

如何使用行列式計算器

  1. 選擇所需的矩陣大小（例如，3×3 或 4×4）。
  2. 點擊“生成矩陣”按鈕以創建矩陣元素的輸入欄位。
  3. 輸入矩陣的值。您也可以使用“隨機填充”或“單位矩陣”按鈕以方便操作。
  4. 點擊“計算行列式”以計算行列式。
  5. 結果和詳細的計算步驟將顯示在矩陣輸入下方。
  6. 要重置並重新開始，請點擊“清除”按鈕。

示例

示例 1：2×2 矩陣的行列式

矩陣：

\[ \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \]

行列式計算：

\[ \text{det}(A) = (3 \cdot 5) - (4 \cdot 2) = 15 - 8 = 7 \]

結果：\(\text{det}(A) = 7\)

示例 2：3×3 矩陣的行列式

矩陣：

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]

行列式計算（使用高斯消元法）：

這個矩陣的行列式為 0，因為行是線性相關的，使得矩陣是奇異的。

常見問題

  • 零行列式的意義是什麼？
    行列式為零表示該矩陣是奇異的，這意味著它沒有逆，並且其行（或列）是線性相關的。
  • 行列式的實際應用有哪些？
    行列式用於解決線性系統、尋找矩陣的逆、分析變換，以及計算多維空間中的面積和體積。
  • 這個計算器能處理非方陣嗎？
    不，行列式僅定義於方陣。請確保輸入的矩陣具有相同的行數和列數。
  • 計算器如何計算較大矩陣的行列式？
    對於大於 2×2 的矩陣，計算器使用高斯消元法將矩陣簡化為上三角形形式，然後乘以對角元素以找到行列式。
  • 支持的最大矩陣大小是多少？
    計算器支持最大 10×10 的矩陣，確保準確的結果和詳細的步驟以進行實際計算。

使用行列式計算器的好處

  • 通過自動化計算過程節省時間，特別是對於大型矩陣。
  • 提供清晰的逐步解釋，使其成為學生和教育工作者的寶貴學習工具。
  • 處理隨機填充和單位矩陣創建等常見任務，以簡化設置過程。