第 n 次導數計算器

作者: Henrick Yau
- 2026年8月5日
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計算機

此計算器可計算函數的 n 次導數。輸入您的函數，指定導數的階數，並查看逐步的微分過程。

輸入函數

顯示選項

關於高階導數

n 次導數表示對函數進行 n 次微分的結果。 高階導數在微積分、物理、工程及其他科學領域中對於分析變化率、近似函數及解決微分方程非常重要。

高階導數的符號
  • 萊布尼茲符號： dnf/dxn 或 dny/dxn
  • 拉格朗日符號： f(n)(x)
  • 牛頓符號： y(n) 或 f(n)
常見例子
函數 一階導數 二階導數 n 次導數
xm mxm-1 m(m-1)xm-2 m!/(m-n)! · xm-n 當 n ≤ m
eax aeax a2eax aneax
sin(ax) a·cos(ax) -a2·sin(ax) an·sin(ax + nπ/2)
cos(ax) -a·sin(ax) -a2·cos(ax) an·cos(ax + nπ/2)
高階導數的應用
  • 泰勒級數： 使用高階導數在某點近似函數
  • 運動分析： 位置 → 速度（1 次導數） → 加速度（2 次導數） → 突變（3 次導數） → 瞬變（4 次導數）
  • 曲線分析： 研究凹凸性、拐點及局部行為
  • 微分方程： 解決物理和工程中的高階微分方程

什麼是 N 次導數？

函數 ( f(x) ) 的 n 次導數是對該函數進行 ( n ) 次求導的結果。它將導數的概念推廣到更高的階數：

  • 一階導數 ( f'(x) ) 描述了 ( f(x) ) 的變化率。
  • 二階導數 ( f''(x) ) 表示 ( f'(x) ) 的變化率，通常與凹凸性有關。
  • 更高階的導數，如 ( f^{(n)}(x) )，提供有關函數越來越複雜行為的信息，例如振盪或曲率趨勢。

例如： - 如果 ( f(x) = x^3 + 2x )，則： - ( f'(x) = 3x^2 + 2 ) - ( f''(x) = 6x ) - ( f^{(3)}(x) = 6 )，依此類推。

N 次導數在物理、工程和數據科學等領域中至關重要，因為理解函數的趨勢和行為是關鍵。

N 次導數計算器的特點

  • 計算任意階數： 快速計算任意正整數 ( n ) 的函數 n 次導數。
  • 逐步過程： 查看中間步驟以理解導數是如何計算的。
  • 圖形表示： 在圖表上可視化原始函數及其 n 次導數。
  • 預設範例： 使用預載範例進行快速測試。

如何使用 N 次導數計算器

  1. 輸入函數：
  2. 以格式 ( f(x) = \ldots ) 輸入數學函數。

  3. 例如：( x^3 + \sin(x) )。

  4. 指定導數的階數 (( n ))：

  5. 輸入 ( n ) 的值以計算 n 次導數。

  6. 例如：輸入 ( n = 2 ) 以獲得二階導數。

  7. 選擇範例（可選）：

  8. 從預設範例中選擇以查看計算器的工作方式。

  9. 點擊「計算」：

  10. 查看結果、詳細步驟以及顯示原始函數及其 n 次導數的圖形。

  11. 清除輸入：

  12. 使用「清除」按鈕重置所有欄位。

範例

輸入：

  • 函數：( f(x) = x^3 + \sin(x) )
  • 階數：( n = 2 )

輸出：

  • ( f'(x) = 3x^2 + \cos(x) )
  • ( f''(x) = 6x - \sin(x) )

圖形顯示原始函數 ( f(x) ) 及其二階導數 ( f''(x) )。

常見問題

什麼是導數？

導數是衡量函數隨著其輸入變化而變化的程度。它表示函數在任何點的斜率。

什麼是 n 次導數？

n 次導數是對導數進行 ( n ) 次求導的結果。例如，二階導數是對一階導數的導數。

計算器能處理三角函數和指數函數嗎？

是的，計算器支持 ( \sin(x) )、( \cos(x) )、( e^x ) 等函數。

如果導數為零會怎樣？

如果 n 次導數為零，則意味著該階數的函數變為常數。

我可以用這個計算器進行偏導數嗎？

不可以，這個計算器僅適用於單變量函數。對於偏導數，請使用單獨的工具。

對函數有什麼限制嗎？

確保函數是良定義且可微的。避免不連續性和未定義的行為，如除以零。

使用計算器的好處

  • 節省時間： 自動化查找高階導數的過程。
  • 教育性： 提供詳細步驟以便學習和理解。
  • 視覺洞察： 圖形提供對函數行為的更深入理解。

無論您是學生、教師還是專業人士，這個計算器簡化了查找 n 次導數的過程，並幫助可視化複雜的數學函數。今天就試試吧！