幾何分佈計算器

分類：統計學
- 2025年05月01日
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計算幾何分佈的機率質量函數 (PMF)、累積分佈函數 (CDF)、平均值、變異數及其他統計數據，成功機率為 p。

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關於幾何分佈

幾何分佈模型描述在一系列獨立的伯努利試驗中，達到第一次成功所需的試驗次數，每次試驗的成功機率均為 p。

兩種常見變體
  • 試驗次數：計算直到（包括）第一次成功的總試驗次數。範圍：x ∈ {1, 2, 3, ...}
  • 失敗次數：僅計算第一次成功前的失敗次數。範圍：x ∈ {0, 1, 2, ...}

這兩種變體在實踐中都會使用，因此澄清您正在使用哪一種是很重要的。

關鍵特性
  • 無記憶性質： P(X > s + t | X > s) = P(X > t)
  • 平均值（期望值）： E[X] = 1/p（試驗）或 (1-p)/p（失敗）
  • 變異數： Var(X) = (1-p)/p²（兩種版本）
  • 眾數：始終為 1（試驗）或 0（失敗）
  • 偏斜度： (2-p)/√(1-p) > 0，表示右偏
應用

幾何分佈通常用於建模：

  • 達成成功所需的嘗試次數
  • 直到事件首次發生的等待時間
  • 質量控制（檢查到缺陷的項目數）
  • 可靠性測試（設備故障前的試驗次數）
  • 機會遊戲（直到特定結果的擲骰次數）
  • 建模客戶獲取或轉換過程
與其他分佈的關係
  • 幾何分佈是負二項分佈的一個特例，其中 r = 1（一次成功）。
  • 它是連續指數分佈的離散類比。
  • 與指數分佈類似，它是唯一的離散無記憶分佈。

什麼是幾何分佈？

幾何分佈是一種離散概率分佈，用於建模在一系列獨立的伯努利試驗中達到第一次成功所需的試驗次數，每次試驗有兩種可能的結果（成功或失敗）。它在統計學中被廣泛用於分析事件發生直到觀察到特定成功的過程。

幾何分佈有兩種類型：

  • 類型 1： \( X \) 是直到第一次成功為止的總試驗次數。
  • 類型 2： \( X \) 是在第一次成功之前的失敗次數（不包括成功的試驗）。

幾何分佈計算器的目的

這個計算器旨在幫助用戶計算給定成功概率（\( p \)）和試驗次數（\( X \)）的以下概率：

  • \( P(X = x) \)：在特定試驗中成功發生的概率。
  • \( P(X \leq x) \)：在 \( x \) 次試驗中成功發生的累積概率。

計算器提供詳細的逐步計算，適用於兩種類型的幾何分佈，使得用戶能夠輕鬆理解並解決相關問題。

計算器的主要特點

  • 雙模式支持：允許用戶在兩種類型的幾何分佈之間選擇。
  • 準確結果：精確計算確切和累積概率。
  • 逐步解釋：提供詳細計算，幫助用戶理解過程。
  • 用戶友好的界面：簡單的輸入欄位和直觀的下拉選單以選擇分佈類型。
  • 實時錯誤處理：提醒用戶無效輸入並指導修正。

如何使用幾何分佈計算器

按照以下步驟有效使用計算器：

  1. 輸入成功概率（\( p \)）：輸入一個介於 0 和 1 之間的值（例如，0.5 代表 50%）。
  2. 輸入試驗次數（\( X \)）：提供試驗次數作為正整數（例如，3）。
  3. 選擇分佈類型：使用下拉選單指定 \( X \) 是否包括第一次成功或僅計算第一次成功之前的失敗。
  4. 點擊計算：按下“計算”按鈕以計算結果並顯示逐步解釋。
  5. 清除輸入：使用“清除”按鈕重置輸入並開始新的計算。

幾何分佈的應用

幾何分佈在各個領域中被廣泛使用，包括：

  • 質量控制：確定在檢查過程中檢測到缺陷項目的可能性。
  • 體育分析：建模一支球隊在特定進攻中得分的概率。
  • 客戶支持：預測解決問題所需的電話次數。
  • 金融：估算獲利所需的投資次數。

常見問題（FAQ）

  • 成功概率（\( p \)）代表什麼？
    成功概率（\( p \)）是單次試驗成功的可能性。它必須是介於 0 和 1 之間的值。
  • 試驗次數（\( X \)）可以是負數嗎？
    不可以，\( X \) 必須是正整數，因為它代表試驗或失敗的次數。
  • 兩種類型的分佈有什麼區別？
    在類型 1 中，\( X \) 包括成功的試驗。在類型 2 中，\( X \) 僅計算成功之前的失敗。
  • 我該如何解釋結果？
    結果顯示在特定試驗中達到成功的概率（\( P(X = x) \)）和在 \( X \) 次試驗中成功的累積概率（\( P(X \leq x) \)）。
  • 如果我輸入無效的數據會怎樣？
    計算器將顯示錯誤消息並指導您修正輸入。