拉普拉斯變換計算器

分類：微積分
- 2025年4月2日
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支援的函數與範例：

1. 次方函數

格式：t^n，其中 n 是正整數

範例：t^2, t^3, t^4

2. 指數函數

格式：e^(nt)，其中 n 是任意數字

範例：e^(2t), e^(-3t), e^(0.5t)

3. 三角函數

格式：sin(nt) 或 cos(nt)，其中 n 是任意數字

正確：sin(2t), cos(3t), sin(0.5t)

錯誤：sin(at), cos(at)（不要使用字母）

4. 與 t 相乘的函數

格式：t*函數，其中函數是指數或三角函數

正確：t*e^(2t), t*sin(3t), t*cos(4t)

錯誤：t*e^(at), t*sin(at)（不要使用字母）

5. 結合指數與三角函數

格式：e^(nt)*trig(mt)，其中 n, m 是數字，trig 是 sin 或 cos

正確：e^(2t)*sin(5t), e^(-3t)*cos(2t)

錯誤：e^(at)*sin(bt)（不要使用字母）

拉普拉斯變換計算器：簡化複雜變換

拉普拉斯變換計算器是一個用戶友好的工具，旨在幫助您計算各種數學函數的拉普拉斯變換。本文解釋了拉普拉斯變換的目的、如何有效使用計算器，以及回答常見問題。

什麼是拉普拉斯變換？

拉普拉斯變換是一種強大的數學技術，用於將時間函數 ( f(t) ) 轉換為複變數 ( s ) 的函數，表示為 ( F(s) )。拉普拉斯變換在工程、物理和數學中被廣泛使用，以簡化系統分析，特別是在微分方程和控制理論中。

函數 ( f(t) ) 的拉普拉斯變換由以下公式給出：

[ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt ]

通過將時間域函數轉換為頻率域，拉普拉斯變換使解決複雜問題變得更加簡單。

計算器的功能

該計算器支持多種函數，包括：

  • 幂函數：( t^n )，其中 ( n ) 是正整數。
  • 指數函數：( e^{at} )，其中 ( a ) 是任何實數。
  • 三角函數：( \sin(at) )、( \cos(at) ) 及其與指數的組合。
  • 乘積函數：( t \cdot f(t) )，例如 ( t \cdot e^{at} ) 或 ( t \cdot \sin(at) )。
  • 組合函數：如 ( e^{at} \sin(bt) ) 和 ( e^{at} \cos(bt) )。

如何使用計算器

步驟說明

  1. 輸入函數：
  2. 在標記為 輸入函數 ( f(t) )： 的文本框中，輸入您想要轉換的函數。

  3. 示例：

    • ( t^2 )
    • ( e^{2t} )
    • ( \sin(3t) )
    • ( t \cdot e^{2t} )
    • ( e^{2t} \sin(5t) )

  4. 點擊計算：

  5. 按下 計算 按鈕以計算拉普拉斯變換。

  6. 計算器將：

    • 確定函數的類型。
    • 應用相應的拉普拉斯變換公式。
    • 顯示結果和簡要解釋。

  7. 查看解答：

  8. 結果包括：

    • 原始函數 ( f(t) )。
    • 應用的拉普拉斯變換公式。
    • 簡化的變換 ( F(s) )。

  9. 清除字段：

  10. 點擊 清除 按鈕以重置輸入並開始新的計算。

支持的函數示例

計算器支持多種函數。以下是一些示例：

1. 幂函數

  • 輸入：( t^2 )
  • 輸出：( \mathcal{L}{t^2} = \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3} )

2. 指數函數

  • 輸入：( e^{2t} )
  • 輸出：( \mathcal{L}{e^{2t}} = \frac{1}{s - 2} )

3. 三角函數

  • 輸入：( \sin(3t) )
  • 輸出：( \mathcal{L}{\sin(3t)} = \frac{3}{s^2 + 9} )

4. 乘積函數

  • 輸入：( t \cdot e^{2t} )
  • 輸出：( \mathcal{L}{t \cdot e^{2t}} = \frac{1}{(s - 2)^2} )

5. 組合函數

  • 輸入：( e^{2t} \sin(5t) )
  • 輸出：( \mathcal{L}{e^{2t} \sin(5t)} = \frac{5}{(s - 2)^2 + 25} )

常見問題 (FAQ)

拉普拉斯變換的目的是什么？

拉普拉斯變換通過將微分方程轉換為代數方程來簡化動態系統的分析，這些方程更容易解決。

計算器支持哪些類型的函數？

計算器支持幂函數、指數函數、三角函數以及像 ( t \cdot f(t) ) 或 ( e^{at} \sin(bt) ) 的組合。

計算器是否顯示中間步驟？

是的！計算器提供了用於計算拉普拉斯變換的公式的簡要解釋。

我可以在函數中輸入自定義變量或字母嗎？

不可以。計算器僅接受帶有數字和變量 ( t ) 的函數。使用數字來定義係數。

如果我輸入不支持的函數會發生什麼？

計算器將顯示錯誤消息，並建議查看支持的函數列表。

計算器的好處

  • 節省時間：快速計算拉普拉斯變換，而無需手動計算。
  • 支持學習：提供解釋以幫助您理解變換過程。
  • 功能廣泛：涵蓋工程和數學中使用的大多數常見函數。

這款拉普拉斯變換計算器是學生、工程師和從事系統及微分方程工作的專業人士的絕佳工具。試試看，看看它如何簡化您的工作！