拉普拉斯變換計算器

分類：微積分
- 2025年4月6日
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計算常見函數和表達式的拉普拉斯變換及其反變換。 請以 t（時間域）或 s（頻率域）輸入您的函數。

變換類型

函數輸入

t =

常見變換

常見拉普拉斯變換對

時間域 f(t) 頻率域 F(s) 條件

關於拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是一種積分變換，將實變數 t（通常是時間）的函數轉換為複變數 s（頻率）的函數。它將微分方程轉換為代數方程，使其更容易求解。

定義

函數 f(t) 的拉普拉斯變換定義為：

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt

反拉普拉斯變換定義為：

f(t) = ℒ-1{F(s)} = 1/(2πi) ∫γ-i∞γ+i∞ est F(s) ds
關鍵性質
  • 線性： ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
  • 微分： ℒ{f'(t)} = sℒ{f(t)} - f(0)
  • 積分： ℒ{∫0t f(τ)dτ} = F(s)/s
  • 平移： ℒ{eatf(t)} = F(s-a)
  • 時間延遲： ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e-asF(s)
應用
  • 解決常微分方程和偏微分方程
  • 電子電路和控制系統分析
  • 信號處理和系統分析
  • 機械振動和熱傳導

拉普拉斯變換計算器是什麼？

拉普拉斯變換計算器是一個實用工具，幫助用戶解決拉普拉斯變換和逆拉普拉斯變換。這些變換用於在時間域和頻率域之間轉換函數——這是工程、物理學和高等數學中的一項基本技術。

這個計算器對於學習者、教育工作者和從事微分方程、系統分析或信號處理的專業人士特別有用。

拉普拉斯變換：

\( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)

逆拉普拉斯變換：

\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds \)

如何使用計算器

按照以下簡單步驟有效使用拉普拉斯變換計算器：

  • 選擇變換類型：在「拉普拉斯變換」（時間 → 頻率）或「逆拉普拉斯變換」（頻率 → 時間）之間選擇。
  • 輸入函數：根據所選變換，輸入以 t 或 s 表示的表達式。
  • 可選：為變數指定一個數值，以便在該點獲得計算結果。
  • 選擇精度：選擇您希望最終答案中顯示的小數位數。
  • 點擊「計算變換」：該工具將計算結果並提供逐步解釋。

使其有用的特點

  • 支持拉普拉斯變換和逆拉普拉斯變換
  • 包含常見變換的表格以便快速參考
  • 顯示解決步驟和使用的變換性質
  • 提供函數值的可選數值評估
  • 非常適合快速解決微分方程

為什麼使用這個工具？

手動計算拉普拉斯變換可能耗時且容易出錯。這個計算器簡化了過程並提供即時結果。無論您是在學習電路、機械系統還是數學模型，這個工具都能加快您的工作流程。

該計算器補充了其他數學工具，例如用於多變數微分的 偏導數計算器、用於尋找不定積分的 不定積分計算器 和用於曲率和凹凸性分析的 二次導數計算器。它是更廣泛工具包的一部分，適用於處理從使用 極限計算器 尋找函數極限到在線解決積分的 積分計算器 的所有問題。

常見使用案例

  • 解決常微分方程（ODE）
  • 分析控制系統和電路響應
  • 從頻率域表達式評估時間域行為
  • 涉及瞬態或穩態系統的工程和物理應用

常見問題

問：我可以輸入什麼類型的函數？

您可以輸入如 t^2、sin(3t)、e^(-2t) 或 1/s^2 的表達式。計算器會自動識別常見形式，或在未找到匹配時提供指導。

問：如果我的函數未被識別會怎樣？

如果您的輸入與已知變換不匹配，計算器會通知您。您可以參考界面中包含的常見變換表，或嘗試修改您的輸入。

問：我可以用這個檢查作業或任務嗎？

可以，這非常適合檢查拉普拉斯變換結果和理解解決步驟，這有助於鞏固學習。

問：這也適用於逆變換嗎？

當然可以。只需將變換類型切換為「逆拉普拉斯變換」，並以 s 表示輸入頻率域函數。

問：這與其他計算器一起使用有用嗎？

絕對有用。與 隱式導數計算器、平均值定理計算器 或 雅可比計算器 等工具一起使用，可以涵蓋廣泛的微積分和系統分析問題。

結論

拉普拉斯變換計算器是一個有用且易於使用的工具，適合任何需要快速和準確變換結果的人。無論您是在嘗試解決拉普拉斯方程、分析系統行為還是簡化微分方程，它都提供清晰的輸出和解釋。與其他計算器如 方向導數計算器 或 函數平均值計算器 一起使用，可以自信地處理更多類型的數學問題。