三重積分計算器

分類：微積分
- 2025年06月19日
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計算並可視化三重積分，涵蓋各種三維空間的區域。這個計算器幫助設置積分範圍、可視化區域並計算結果。

積分設置

使用 x, y, z 代表直角坐標系；r, theta, z 代表圓柱坐標系；rho, theta, phi 代表球坐標系
積分範圍 (直角坐標系)
x：
到
y：
到
z：
到
當前區域：
半徑為 1 的上半球，中心在原點
選項
預設區域

理解三重積分

三重積分表示一個函數在三維空間某區域的體積積分。它將單重和雙重積分的概念擴展到三維。

定義

函數 f(x,y,z) 在三維空間區域 V 上的三重積分定義為：

∭V f(x,y,z) dV

這表示在區域 V 中 f 的值的總和，按體積元素 dV 加權。

不同的座標系統

三重積分可以在不同的座標系統中計算：

直角坐標系： ∭ f(x,y,z) dx dy dz

圓柱坐標系： ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

球坐標系： ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

座標系統的選擇應與問題的對稱性相匹配，以簡化計算。

應用

三重積分有許多實際應用，包括：

  • 計算複雜三維形狀的體積
  • 找出固體物體的質心
  • 計算物理中的慣性矩
  • 確定區域內的總電位或重力位
  • 解決流體動力學和電磁學中的問題

免責聲明：此計算器提供的結果僅供教育用途，為關鍵應用需要高精度的情況，請使用專業數學軟體或諮詢專業數學家以驗證結果。

什麼是三重積分計算器？

三重積分計算器是一個使用者友好的在線工具，幫助您評估和理解三重積分——這是一種計算三維空間中表面下方體積的方法。無論您使用的是笛卡爾坐標、圓柱坐標還是球坐標，這個計算器都允許您定義被積函數，輸入積分範圍，並獲得符號和數值解，還提供可選的逐步指導和三維可視化。

∭V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

為什麼使用這個工具？

這個計算器對於需要以下功能的學生、教育工作者和專業人士非常有幫助：

  • 計算三維空間中某個區域的體積
  • 在不同坐標系中計算積分
  • 理解積分範圍與幾何形狀之間的關係
  • 獲得積分過程的逐步解析
  • 可視化三維區域，以增強對多變量微積分的直覺理解

如何使用計算器

  1. 選擇坐標系：根據區域的形狀選擇笛卡爾（x, y, z）、圓柱（r, θ, z）或球（ρ, θ, φ）。
  2. 輸入被積函數：例如，在笛卡爾坐標中輸入 x^2 + y^2 + z^2。
  3. 指定積分範圍：為每個變量輸入下限和上限。您也可以使用預設形狀，如單位球或圓柱。
  4. 選擇選項：切換是否顯示逐步解答、數值結果或可視化。
  5. 點擊“計算積分”：查看結果，查看每個積分步驟的解析，並在啟用的情況下與三維可視化互動。

主要特點

  • 支持笛卡爾、圓柱和球坐標
  • 提供符號和數值結果
  • 包括常見形狀的預設區域
  • 以三維方式可視化區域，支持旋轉和縮放
  • 逐步解析每個積分步驟以便學習

對學習相關主題有幫助

三重積分通常與其他多變量微積分主題一起出現。這個計算器補充了以下工具：

  • 偏導數計算器：使用偏導數或多變量導數求解器探索函數如何沿特定變量變化。
  • 不定積分計算器：計算不定積分並逐步解決積分問題。
  • 積分計算器：解決單變量的定積分或不定積分以進行基礎練習。
  • 方向導數計算器：理解梯度以及函數在特定方向上的變化。
  • 切平面計算器：使用微分分析找到最佳近似某點表面的平面。

常見問題 (FAQ)

三重積分用於什麼？

三重積分通常用於計算三維區域的體積、質量和其他量。這是物理學、工程學和多變量微積分中的一個關鍵概念。

我應該選擇哪個坐標系？

使用與您的區域對稱性相匹配的坐標系：

  • 笛卡爾 – 用於立方體、盒子和矩形固體
  • 圓柱 – 用於圓柱和圓形形狀
  • 球 – 用於球體、半球和徑向對稱

這個計算器可以顯示步驟嗎？

可以。您可以啟用“顯示逐步解答”選項，以查看積分的逐步計算，這對於學習和檢查您的工作非常理想。

如果我只想要數值結果怎麼辦？

啟用“計算數值結果”以獲得近似的小數值。當符號積分過於複雜時，這非常有用。

這適合在課堂上使用嗎？

當然可以。這個計算器非常適合學生和教育工作者用來練習問題、驗證作業或在學習期間使用。

這個計算器的幫助

無論您是想計算體積、分析物理系統，還是加深對微積分的理解，三重積分計算器都提供清晰、可行的見解。這是一個實用的多變量微積分工具，與偏導數、積分技術和向量分析等其他概念無縫協作。