二次近似計算器

分類：微積分

- 2025年4月2日

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輸入函數 \( f(x) \)：點 \( x_0 \)：

什麼是二次近似？

二次近似是一種用於近似函數 ( f(x) ) 在特定點 ( x_0 ) 附近行為的方法。這種技術將函數展開為二次形式：

[ Q(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 ]

以下是各項的貢獻： - ( f(x_0) )：函數在 ( x_0 ) 的值。 - ( f'(x_0) )：在 ( x_0 ) 的切線斜率，代表線性項。 - ( f''(x_0) )：函數的曲率，對二次項有貢獻。

這種方法在函數過於複雜以至於無法直接評估或用於近似非線性函數的情況下特別有用。

我們的 二次近似計算器 簡化了在指定點 ( x_0 ) 為給定函數 ( f(x) ) 找到二次近似的過程。請按照以下步驟操作：

輸入函數：
在指定的輸入框中輸入您的函數 ( f(x) )。例如：sqrt(x) + 5/sqrt(x)。
指定點：
輸入需要進行近似的點 ( x_0 )。例如：9。
計算：
點擊計算按鈕。計算器將計算二次近似，顯示詳細步驟和最終結果的展開形式和簡化形式。
查看解答：
檢查解答，包括：
- 函數值 ( f(x_0) )，
- 一階和二階導數 ( f'(x_0) ) 和 ( f''(x_0) )，
- 二次近似公式及其簡化形式。
清除輸入：
要重置字段，請點擊清除按鈕。

步驟 1：計算 ( f(x_0) )： [ f(9) = \frac{14}{3} ]
步驟 2：計算一階導數並在 ( x_0 ) 評估： [ f'(x) = -\frac{5}{2\sqrt{x}^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad f'(9) = \frac{2}{27} ]
步驟 3：計算二階導數並在 ( x_0 ) 評估： [ f''(x) = \frac{15}{4\sqrt{x}^5} - \frac{1}{4\sqrt{x}^3}, \quad f''(9) = \frac{1}{162} ]
二次近似公式： [ Q(x) \approx \frac{14}{3} + \frac{2}{27}(x - 9) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{162}(x - 9)^2 ]
簡化： [ Q(x) \approx \frac{x^2}{324} + \frac{x}{54} + \frac{17}{4} ]

答：二次近似通過將複雜函數近似為在感興趣點附近的二次多項式來簡化它們。這在微積分和優化中常被使用。

答：是的，只要該函數在指定點 ( x_0 ) 的二階導數可微即可。

答：計算器會提供錯誤消息以指導您修正輸入。

答：分數提供精確值，確保計算的精度。

二次近似計算器是學生、教育工作者和專業人士需要精確函數近似的強大工具。通過提供逐步解答和清晰的分數輸出，這個計算器確保了準確性和理解。

立即開始，探索二次近似如何簡化您的數學挑戰！