二項分佈計算器

分類：統計學
- 2025年07月16日
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計算二項分佈的機率質量函數 (PMF)、累積分佈函數 (CDF)、平均數、變異數及其他統計數據，參數為 n（試驗次數）和 p（成功機率）。

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關於二項分佈

二項分佈是一種離散機率分佈，用於模型化在固定次數的獨立試驗中成功的次數，每次試驗的成功機率相同。

主要特性
  • 定義域： x ∈ {0, 1, 2, ..., n}
  • 平均數： μ = n × p
  • 變異數： σ² = n × p × (1-p)
  • 眾數： ⌊(n+1)×p⌋ 或 ⌊(n+1)×p-1⌋
  • 偏度： (1-2p)/√(n×p×(1-p))
二項分佈的要求
  1. 固定的試驗次數 (n)
  2. 每次試驗是獨立的
  3. 每次試驗有兩種可能的結果（成功/失敗）
  4. 所有試驗的成功機率 (p) 是恆定的
應用

二項分佈在許多領域中都有應用，包括：

  • 品質控制（批次中不良品的數量）
  • 醫學（治療的成功/失敗）
  • 選舉和民調（選民對候選人的支持比例）
  • 體育（系列賽中的勝負）
  • 遺傳學（性狀的遺傳）
常態近似

對於大值的 n，二項分佈可以用平均數 μ = n×p 和變異數 σ² = n×p×(1-p) 的常態分佈來近似。當 n×p 和 n×(1-p) 都大於 5 時，這種近似效果良好。

什麼是二項分佈？

二項分佈是一種概率分佈，用於建模在固定次數的獨立試驗中成功的次數。每次試驗的結果可以是成功或失敗，且成功的概率在所有試驗中保持不變。該分佈由兩個參數決定：

  • \( n \)： 試驗的次數。
  • \( p \)： 每次試驗成功的概率。

觀察到恰好 \( k \) 次成功的概率由以下公式給出：

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

這裡，\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) 是二項係數，計算從 \( n \) 次試驗中選擇 \( k \) 次成功的方式數。

二項分佈計算器的目的

二項分佈計算器簡化了二項概率的計算。它旨在節省時間並減少錯誤，使其成為學生、統計學家和從事概率工作的專業人士的理想工具。該工具計算在 \( n \) 次試驗中恰好 \( k \) 次成功的概率，並提供詳細的逐步解釋以增強理解。

計算器的主要特點

  • 準確的結果： 使用精確的公式計算二項概率。
  • 逐步解釋： 提供計算的分解，包括二項係數、\( p \) 的次方和最終概率。
  • 用戶友好的設計： 簡單的輸入欄位，用於試驗、成功次數和成功概率。
  • 錯誤處理： 對於無效輸入或超出範圍的值顯示清晰的消息。

如何使用二項分佈計算器

按照以下步驟計算二項概率：

  1. 輸入試驗次數 (\( n \))： 指定總試驗次數為正整數。
  2. 輸入成功次數 (\( k \))： 將所需的成功次數輸入為正整數。確保 \( k \leq n \)。
  3. 輸入成功概率 (\( p \))： 指定成功的概率為介於 0 和 1 之間的小數（例如，0.5 代表 50%）。
  4. 點擊計算： 按下 計算 按鈕以計算概率。
  5. 查看結果： 計算器將顯示概率和詳細的計算步驟。
  6. 清除輸入： 使用 清除 按鈕重置輸入並進行新的計算。

為什麼使用這個計算器？

這個計算器是一個強大的工具，可以快速且準確地計算二項概率。無論您是學習概率的學生、解釋概念的教師，還是分析數據的專業人士，該工具都簡化了過程並確保精確的結果。

常見問題解答 (FAQ)

  • 什麼是二項實驗？
    二項實驗是一種統計實驗，由 \( n \) 次獨立試驗組成，每次試驗有兩種可能的結果：成功或失敗。
  • 我可以使用這個計算器計算大於 1 的概率嗎？
    不可以，成功的概率 (\( p \)) 必須始終介於 0 和 1 之間。
  • 如果 \( k > n \) 會怎樣？
    如果 \( k > n \)，計算器將顯示錯誤，因為成功的次數不能超過試驗的次數。
  • 計算器能處理小數概率嗎？
    是的，您可以將概率輸入為小數（例如，0.25 代表 25%）。
  • 結果代表什麼？
    結果代表在 \( n \) 次試驗中觀察到恰好 \( k \) 次成功的概率，給定指定的成功概率。