偏導數計算器

分類：微積分
- 2025年4月6日
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計算多變數函數的偏導數。這個計算器幫助您找到函數對特定變數的偏導數，顯示逐步解決方案和數學符號。

輸入函數詳情

評估選項（可選）

關於偏導數

偏導數測量當一個變數改變而其他變數保持不變時，多變數函數的變化情況。 它們在多變數微積分、物理學、工程學、經濟學和許多其他領域中是基本的。

符號

如果 f(x,y,z) 是多變數的函數，那麼：

  • ∂f/∂x 或 fx 表示對 x 的偏導數
  • ∂²f/∂x² 或 fxx 表示對 x 的二階偏導數
  • ∂²f/∂x∂y 或 fxy 表示混合偏導數（先對 y，再對 x）
常見應用
  • 優化： 尋找多變數函數的最大值和最小值
  • 梯度向量： 確定最陡上升或下降的方向
  • 物理學： 描述多變數物理系統中的變化率
  • 機器學習： 計算優化算法的梯度
輸入格式提示
  • 使用 * 進行乘法：x*y 而不是 xy
  • 使用 ^ 進行指數運算：x^2 表示 x²
  • 可用函數：sin、cos、tan、exp、ln、sqrt
  • 使用括號來分組項目：sin(x*y)

基本偏導數法則：

對於多變數函數 \( f(x, y, z, \ldots) \)：

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \text{在保持其他變數不變的情況下，} f \text{ 對 } x \text{ 的變化率} \]

什麼是偏導數計算器？

偏導數計算器是一個有用的在線工具，可以幫助您快速且清晰地找到多變數函數的偏導數。無論您是在處理兩個或更多變數的函數，這個計算器都能簡化按變數和順序計算導數的過程。

這個工具支持多變數微分，使計算在微積分、物理、工程、經濟學和機器學習中使用的函數的偏導數變得更加容易。

如何使用計算器

按照以下步驟有效計算偏導數：

  • 輸入函數：在輸入框中輸入您的多變數函數（例如，x^2*y + sin(x*y)）。
  • 選擇變數：選擇要對其進行微分的變數（如x、y或z）。
  • 選擇導數順序：選擇您想要的第一、第二或第三導數。
  • 可選：在某點評估：勾選框以輸入x、y和z的值，如果您想要數值結果。
  • 點擊「計算導數」：獲得您的答案以及清晰的逐步解析。

主要特點

  • 每個導數的逐步解析
  • 支持第一、第二和第三階導數
  • 可選的自定義點數值評估
  • 內建簡化以獲得更清晰的結果
  • 突出顯示常用法則，如冪法則、乘積法則和鏈式法則

為什麼這個計算器有用

這個偏導數解算器非常適合需要快速、準確且易於理解的結果而不需要手動計算的任何人。無論您是學習微積分的學生還是分析函數的專業人士，它都能幫助您：

  • 理解多變數函數，通過分解每個變數如何影響結果
  • 節省時間，在作業、項目或研究中獲得即時結果
  • 驗證您的工作，提供逐步解釋和簡化結果

如果您還在處理相關的數學任務，請查看其他工具，例如第二導數工具、方向導數計算器或隱式微分解算器以滿足更高級的需求。

常見問題 (FAQ)

什麼是偏導數？

偏導數顯示當您僅改變一個變數而保持其他變數不變時，多變數函數如何變化。

支持哪些函數？

計算器支持涉及x、y、z及標準運算如+、*、^的函數，以及常見函數如sin、cos、exp、ln和sqrt。

我可以計算高階導數嗎？

可以。您可以使用「導數順序」下拉選單選擇最多第三階導數。

「在某點評估」是什麼意思？

當啟用時，此選項會將特定值（例如，x = 1，y = 2）代入導數結果，以給您一個數值答案。

它會顯示逐步解決方案嗎？

是的。「顯示逐步解決方案」的勾選框預設為啟用，以幫助您理解導數是如何計算的。

還有哪些其他有用的微積分工具？

如果您正在處理導數或積分，請嘗試這些相關工具：

  • 導數計算器：在線解決單變數函數的導數
  • 第二導數計算器：清晰計算第二階導數
  • 積分計算器：解決積分並找到不定積分
  • 方向導數計算器：分析特定方向的梯度
  • 隱式導數計算器：找到隱式函數的導數

結論

偏導數計算器幫助您自信且快速地解決涉及多個變數的導數。無論您是需要用於課堂作業的偏導數解算器，還是想要計算更深入分析的偏導數，這個工具都能提供您可以信賴的清晰且準確的結果。