傅立葉變換計算器

分類：微積分
- 2025年08月02日
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計算並可視化傅立葉變換，以分析頻域中的信號。這個計算器幫助工程師、科學家和學生理解時域信號的頻率成分並執行各種信號處理操作。

信號輸入

選擇您希望如何輸入信號
選擇要執行的傅立葉變換類型
使用 t 作為時間變量，PI 代表 π
秒
秒
建議使用 2 的冪次以進行 FFT

變換選項

應用窗函數以減少頻譜洩漏
添加零以改善頻率解析度

顯示選項

關於傅立葉變換

傅立葉變換是一種數學技術，將信號分解為其組成頻率。它將時域信號轉換為頻域表示，揭示構成原始信號的頻率成分。

關鍵概念
  • 時域與頻域：時域顯示信號隨時間的變化，而頻域顯示每個頻率成分的幅度和相位。
  • 離散與連續：離散傅立葉變換（DFT）用於取樣數據，而連續傅立葉變換適用於連續函數。
  • 快速傅立葉變換（FFT）：一種高效的算法，用於計算 DFT，將計算複雜度從 O(n²) 降低到 O(n log n)。
  • 頻譜洩漏：由於有限數據長度，能量從一個頻率“洩漏”到相鄰頻率箱的現象。
  • 窗函數：應用於信號的數學函數，以減少頻譜洩漏，但會影響頻率解析度。
數學公式

離散傅立葉變換（DFT）由以下公式給出：

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j2\pi kn/N} \]

其中：

  • \( x[n] \) 是時間 \( n \) 的輸入信號
  • \( X[k] \) 是頻率 \( k \) 的 DFT 輸出
  • \( N \) 是樣本數
  • \( j \) 是虛數單位

逆離散傅立葉變換（IDFT）由以下公式給出：

\[ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot e^{j2\pi kn/N} \]
應用
  • 信號處理：過濾、壓縮和頻譜分析
  • 音頻分析：均衡器、語音識別和音樂處理
  • 圖像處理：過濾、特徵提取和壓縮
  • 通信：調變、解調和通道分析
  • 振動分析：識別機械共振和故障
  • 量子物理：波函數分析和量子計算

免責聲明：此計算器提供傅立葉變換的實現，用於教育和一般用途。對於需要高精度的關鍵應用，應使用專業的科學軟件或全面的信號處理庫。頻率解析度受取樣參數的限制，並受奈奎斯特-香農取樣定理的約束。

離散傅立葉變換 (DFT):

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j2\pi kn/N} \]

反向 DFT:

\[ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot e^{j2\pi kn/N} \]

傅立葉變換計算器是什麼？

傅立葉變換計算器是一個互動工具，幫助您通過將信號分解為其頻率成分來分析信號。它將時域信號轉換為頻域表示，使理解模式、檢測主導頻率和進行信號處理變得更加容易。

為什麼使用這個計算器？

這個工具特別適用於：

  • 識別複雜信號中的主導頻率
  • 可視化信號隨時間和頻率的變化
  • 理解相位和幅度等頻譜特徵
  • 學習信號處理技術，如窗函數和零填充
  • 在數學、物理、工程和音頻分析中的教育用途

如何使用傅立葉變換計算器

按照以下步驟對您的信號進行傅立葉變換：

  1. 選擇輸入方法：從函數輸入、數據點、預定義信號或文件上傳中選擇。
  2. 輸入信號詳細信息：根據方法，輸入您的函數表達式、數據或選擇信號類型。
  3. 選擇變換類型：選項包括離散傅立葉變換 (DFT)、快速傅立葉變換 (FFT) 或連續傅立葉變換的近似。
  4. 調整變換設置：應用窗函數和零填充以控制解析度並減少伪影。
  5. 設置顯示選項：選擇以線性或對數刻度顯示幅度，設置頻率範圍，並切換時間或相位圖。
  6. 點擊「計算傅立葉變換」：查看時域和頻域圖、主導頻率成分和頻譜分析。
  7. 導出數據或圖表：保存您的分析以供報告或進一步研究。

好處和應用

這個工具支持學習和專業分析，應用於以下領域：

  • 音頻工程：分析音調、諧波和噪音。
  • 機械振動：檢測共振和診斷故障。
  • 通信系統：檢查調製信號，如 AM 和 FM。
  • 教育工具：補充導數計算器，如 偏導數計算器、二次導數工具 和 方向導數工具。
  • 數學學習：與積分計算器、導數求解器和頻譜工具搭配使用，以理解波形。

常見問題 (FAQ)

我可以分析什麼類型的信號？

您可以輸入數學函數、導入實際數據、從預定義信號中選擇（例如，正弦、方波、噪音）或上傳文件。

DFT 和 FFT 有什麼區別？

DFT 是將時域數據轉換為頻域的標準方法。FFT 是一種更快的版本，經過優化以提高計算效率，適合大型數據集。

窗函數有什麼幫助？

窗函數如 Hamming 或 Hann 可以減少頻譜洩漏，使頻率圖更準確，特別是對於短信號。

為什麼使用零填充？

零填充通過延長信號長度來提高頻率解析度，這使得輸出中的頻率細節更加精細。

這可以取代專業的信號分析軟件嗎？

這個計算器非常適合學習、測試和一般使用。對於關鍵或高精度的應用，建議使用專業軟件。

您可能會發現有用的相關計算器

對於更高級或相關的分析，請探索這些工具：

  • 偏導數計算器：非常適合多變量微分和計算偏導數。
  • 導數計算器：快速在線解決導數，並提供逐步結果。
  • 不定積分計算器：解決積分並找到各種函數的反導數。
  • 二次導數計算器：進行二階導數分析，以獲得更深入的曲線見解。
  • 方向導數計算器：分析函數在表面上沿給定方向的變化。

結論

傅立葉變換計算器通過揭示信號的頻率成分，使理解信號行為變得更加容易。無論您是在學習基礎知識還是探索高級信號分析，這個工具都提供了一種直觀的方式來探索傅立葉變換的力量。