散度計算器

分類：微積分
- 2025年4月2日
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散度計算器

發散計算器：解釋與使用指南

發散計算器是一個互動工具，旨在計算三維向量場的發散。它提供了一種直觀的方式來計算和可視化向量場 ( \mathbf{F}(x, y, z) ) 的發散，提供發散的符號表示及其在特定點的評估。此外，該工具生成向量場的圖形可視化，幫助用戶深入了解其行為。

什麼是發散？

發散是一個標量量，測量向量場在給定點的擴散或匯聚的速率。數學上，向量場 ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) 的發散由以下公式給出：

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

  • 如果發散為正，則向量場在該點擴散。
  • 如果發散為負，則向量場在該點匯聚。
  • 如果發散為零，則該場在該點被稱為無旋場。

此計算器提供符號發散和在特定點進行數值評估的選項。

發散計算器的特點

  • 符號發散： 自動計算向量場分量的偏導數並構建發散方程。
  • 點評估： 在特定點 ( (x, y, z) ) 處進行數值發散評估。
  • 圖形可視化： 使用 Plotly 的互動 3D 繪圖功能顯示向量場的 3D 表示。
  • 下拉示例： 快速加載預定義的向量場示例以供探索。
  • 錯誤處理： 確保無效或不完整的輸入得到妥善處理。

如何使用發散計算器

按照以下簡單步驟有效使用計算器：

  1. 輸入向量場：
  2. 將向量場的 ( P(x, y, z) )、( Q(x, y, z) ) 和 ( R(x, y, z) ) 分量輸入到相應的輸入框中。

  3. 例如：

    • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
    • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
    • ( R(x, y, z) = e^z )

  4. 選擇示例：

  5. 使用 下拉菜單 加載預定義的向量場示例。

  6. 指定評估點（可選）：

  7. 如果您想在特定點評估發散，請在相應的字段中輸入 ( x )、( y ) 和 ( z ) 的值。

  8. 點擊“計算”：

  9. 計算器將：

    • 計算符號發散。
    • 在指定點（如果提供）評估發散。
    • 顯示計算的逐步分解。
    • 生成向量場的 3D 可視化。

  10. 清除輸入：

  11. 使用 “清除” 按鈕重置計算器。

示例演示

示例向量場：

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

  1. 輸入分量：
  2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
  3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

  4. ( R(x, y, z) = e^z )

  5. 點擊“計算”。計算器將：

  6. 計算偏導數：
    • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
    • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
    • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
  7. 將它們結合以找到： [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

  8. 如果提供評估點 ( (x=1, y=1, z=0) )，則結果將評估為： [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

  9. 在圖表上可視化生成的 3D 向量場。

常見問題

1. 向量場分量支持什麼輸入格式？

計算器支持以 ( x )、( y ) 和 ( z ) 為變數的函數。示例包括： - 多項式函數：( x^2, y^2 + z ) - 三角函數：( \sin(xy), \cos(z) ) - 指數函數：( e^z, x \cdot e^y )

2. 如果我不提供評估點會怎樣？

如果未指定評估點，計算器將僅顯示符號發散方程。

3. 我可以將此計算器用於 2D 向量場嗎？

可以，只需將 ( R(x, y, z) ) 分量留空或設置為零。

4. 如何生成 3D 向量場可視化？

計算器使用 Plotly 創建互動式 3D 向量場圖。每個箭頭代表在給定點的場的方向和大小。

5. 如果我的輸入有錯誤怎麼辦？

計算器檢查錯誤，例如缺少分量或無效表達式。描述性錯誤消息將指導您修正問題。

總結

發散計算器通過自動計算發散並提供清晰的可視化表示，簡化了分析向量場的過程。無論您是學生、教師還是專業人士，這個工具都非常適合深入了解三維空間中向量場的行為。立即開始探索，發掘這個強大計算器的全部潛力！