方向導數計算器

分類：微積分
- 2025年4月2日
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什麼是方向導數？

方向導數 衡量一個函數在從給定點沿特定方向移動時的變化。它通過考慮向量方向來擴展偏導數的概念，而不僅僅專注於像 x 或 y 這樣的單個變量。

  • 簡單來說，它計算函數 f(x, y, z) 在特定點沿特定方向的變化率。
  • 在數學上表示為：

D_v f = ∇f ⋅ v̂

這裡： - ∇f 是函數的梯度向量，包含對所有變量的偏導數。 - v̂ 是標準化（單位長度）方向向量。

  • 方向導數的結果是一個單一數字，告訴我們函數在給定方向上是增加、減少還是保持不變。

方向導數計算器的主要特點

  • 動態輸入： 輸入任何多變量函數、評估點和方向向量。
  • 逐步解釋： 計算器提供詳細步驟，顯示如何計算梯度和方向導數。
  • 圖形可視化： 圖形顯示函數沿方向向量的行為。
  • 內建範例： 快速使用提供的範例測試工具，適用於常見函數。

如何使用方向導數計算器

輸入欄位：

  1. 輸入函數： 指定多變量函數，例如 x^2 + y^2 + z^2 或 sin(x) * cos(y)。
  2. 評估點： 提供將要評估導數的點（例如 1,1,1）。
  3. 方向向量： 輸入要計算導數的向量（例如 1,2,3）。

範例下拉選單：

  • 選擇預定義範例以自動填充欄位：
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 在 (1, 1, 1) 方向 v = (1, 1, 1)。
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) 在 (0, 0) 方向 v = (1, 1)。
  • f(x, y) = e^(x + y) 在 (1, 2) 方向 v = (0, 1)。

按鈕：

  • 計算： 執行計算並顯示結果、步驟和圖形。
  • 清除： 重置所有輸入欄位和輸出。

範例演示：f(x, y) = sin(x) * cos(y)

輸入：

  • 函數：sin(x) * cos(y)
  • 點：(0, 0)
  • 方向向量：(1, 1)

計算：

  1. 計算梯度向量：
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. 在 (0, 0) 評估：

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. 標準化方向向量 (1, 1)：

  8. 單位向量：v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. 計算方向導數： D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

結果：

  • 方向導數：1/√2

可視化：

  • 圖形顯示函數沿給定點的方向向量的行為。

使用計算器的好處

  • 效率： 自動化繁瑣的手動微分和評估。
  • 清晰： 逐步解釋過程，理想於學習或驗證。
  • 多功能性： 處理兩個或三個變量的函數，並在任何方向計算導數。

何時使用方向導數計算器

  • 數學和物理： 分析多變量函數中的梯度和變化率。
  • 機器學習和人工智慧： 評估成本函數在梯度方向上的行為。
  • 工程和優化： 評估在特定約束或方向下函數的變化。

圖形輸出

  • 生成圖形以顯示函數沿方向向量的行為。
  • x 軸表示 t，沿方向向量的距離。
  • y 軸表示 f(t)，沿該距離的函數值。