旋度計算器

分類：微積分
- 2025年4月2日
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捲積計算器：全面指南

捲積計算器是一個強大的工具，旨在計算三維空間中向量場的捲積。這一操作是向量微積分中的基本概念，在物理和工程中廣泛用於描述場的旋轉特性，例如流體的旋轉或磁場和電場的行為。

什麼是捲積？

向量場的捲積測量場在某一點的旋轉傾向。數學上，對於向量場 ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} )，捲積定義為：

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{bmatrix} ]

這個行列式展開為以下分量：

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \end{bmatrix} ]

捲積計算器的特點

  • 輸入向量場分量：輸入向量場的 ( P(x, y, z) )、( Q(x, y, z) ) 和 ( R(x, y, z) ) 分量。
  • 在特定點評估：可選擇性地提供 ( x )、( y ) 和 ( z ) 的值，以計算特定點的捲積。
  • 可視化：三維向量場可視化使您能夠直觀地探索旋轉特性。
  • 範例：預定義的範例使理解和測試工具變得簡單。

如何使用捲積計算器

  1. 輸入向量場分量：
  2. 輸入 ( P(x, y, z) )、( Q(x, y, z) ) 和 ( R(x, y, z) ) 的表達式。
  3. 選擇範例（可選）：
  4. 從下拉菜單中選擇預定義的範例以自動填充輸入。
  5. 指定評估點（可選）：
  6. 如有需要，提供 ( x )、( y ) 和 ( z ) 的數值，以計算特定點的捲積。
  7. 計算：
  8. 點擊“計算”按鈕以計算捲積並查看結果，包括計算的逐步分解。
  9. 清除：
  10. 使用“清除”按鈕重置輸入和結果。

範例計算

對於 ( P = yz )、( Q = xz ) 和 ( R = xy )：

  1. 計算偏導數： [ \frac{\partial Q}{\partial z} = x, \quad \frac{\partial R}{\partial y} = x ] [ \frac{\partial R}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial P}{\partial x} = 0 ] [ \frac{\partial P}{\partial y} = z, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = z ]

  2. 計算捲積分量： [ \text{捲積 X} = \frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y} = x - x = 0 ] [ \text{捲積 Y} = \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial x} = y - 0 = y ] [ \text{捲積 Z} = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = z - z = 0 ]

  3. 結果： [ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} 0 \ y \ 0 \end{bmatrix} ]

常見問題 (FAQ)

什麼是向量場？

向量場為空間中的每一點分配一個向量，通常用於表示物理現象，如流體流動或電磁場。

捲積在物理上代表什麼？

捲積表示在給定點的向量場的旋轉或“扭曲”。

我可以計算二維場的捲積嗎？

雖然捲積主要是一個三維操作，但在二維向量場中會簡化為一個標量值。

支持哪些函數？

計算器支持常見的數學函數，如三角函數、指數函數、對數函數和多項式表達式。

結論

捲積計算器簡化了確定向量場捲積的過程，使學生、工程師和物理學家都能輕鬆使用。利用它來理解向量場的旋轉，增強您的問題解決體驗！