曲率計算器

分類：微積分

- 2025年4月2日

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輸入函數 \( f(x) \):

評估點 \( x \):

曲率計算器：完整指南

什麼是曲率計算器？

曲率計算器是一個多功能工具，旨在計算由函數 ( f(x) ) 定義的曲線的曲率（( \kappa )）。曲率測量曲線在特定點的彎曲程度，是微積分、幾何學和物理學中的基本概念。

曲率的公式為：

[ \kappa(x) = \frac{|f''(x)|}{\left(1 + \left(f'(x)\right)^2\right)^{3/2}} ]

其中： - ( f(x) ) 是給定的函數。 - ( f'(x) ) 是 ( f(x) ) 的一階導數。 - ( f''(x) ) 是 ( f(x) ) 的二階導數。

這個計算器通過自動化導數計算和可視化曲線，簡化了尋找曲率的過程。

如何使用曲率計算器

使用曲率計算器非常簡單：

輸入函數：
在輸入框中輸入函數 ( f(x) )（例如，x^2、sin(x)、ln(x+1)）。
選擇或輸入評估點：
選擇一個 ( x ) 值，您希望計算曲率。如果跳過此步驟，計算器將提供一般的曲率公式。
使用下拉菜單獲取示例：
使用下拉菜單快速加載示例函數，如 ( x^2 ) 或 ( \sin(x) )。
點擊計算：
計算器計算曲率並顯示結果，並提供逐步解釋。
可視化曲線：
查看函數 ( f(x) ) 在區間 ([-10, 10]) 上的圖形，以獲得更好的洞察。
清除輸入：
點擊清除以重置輸入並開始新的計算。

計算器的特點

曲率公式和評估：
提供曲率的一般公式，並在提供的特定點進行評估。
逐步解釋：
詳細說明一階和二階導數的計算，以及曲率公式。
圖形表示：
顯示 ( f(x) ) 的圖形，以便直觀理解曲線的行為。
預加載示例：
快速選擇示例函數進行實驗，例如：
- ( f(x) = x^2 )
- ( f(x) = \sin(x) )
- ( f(x) = \ln(x+1) )
適合移動設備的設計：
為桌面和移動設備優化，確保隨時隨地都能訪問。

常見問題

1. 什麼是曲率？

曲率測量曲線在特定點的彎曲程度。高曲率表示彎曲更尖銳，而低曲率則意味著曲線更接近直線。

2. 我可以輸入什麼函數？

您可以輸入： - 多項式（例如，( x^2, x^3 - 2x )） - 三角函數（例如，( \sin(x), \cos(x) )） - 對數函數（例如，( \ln(x+1) )） - 有理函數（例如，( \frac{1}{1+x^2} )）

3. 曲率是如何計算的？

計算器： 1. 計算 ( f'(x) )，即 ( f(x) ) 的一階導數。 2. 計算 ( f''(x) )，即 ( f(x) ) 的二階導數。 3. 應用曲率公式 ( \kappa(x) = \frac{|f''(x)|}{\left(1 + \left(f'(x)\right)^2\right)^{3/2}} )。

4. 我需要指定一個 ( x ) 值嗎？

不需要，如果未指定 ( x ) 值，計算器將提供一般公式。然而，指定 ( x ) 將給出數值曲率。

5. 我可以看到步驟嗎？

可以，計算器顯示： - ( f(x) ) 的一階和二階導數。 - 將這些導數代入曲率公式的過程。

6. 我可以可視化函數嗎？

可以，顯示 ( f(x) ) 在範圍 ([-10, 10]) 上的圖形，讓您看到曲線的形狀和彎曲。

示例計算

問題：

找出 ( f(x) = \sin(x) ) 在 ( x = \pi/4 ) 的曲率。

使用計算器的解決方案：

在函數欄中輸入 ( f(x) = \sin(x) )。
在評估點欄中輸入 ( x = \pi/4 )。
點擊計算。

輸出：

曲率公式： [ \kappa(x) = \frac{|-\sin(x)|}{\left(1 + \cos^2(x)\right)^{3/2}} ]
在 ( x = \pi/4 ) 的曲率： [ \kappa = 0.2929 ]
步驟：
計算 ( f'(x) = \cos(x) )。
計算 ( f''(x) = -\sin(x) )。
評估 ( \kappa = \frac{|-\sin(\pi/4)|}{\left(1 + \cos^2(\pi/4)\right)^{3/2}} )。

( f(x) = \sin(x) ) 的圖形也顯示出來以便可視化。

為什麼使用曲率計算器？

這個工具簡化了計算曲率的過程，節省了您的時間和精力。無論您是學生、教育工作者還是專業人士，曲率計算器提供： - 精確的結果。 - 詳細的解釋。 - 圖形表示。

今天就試試曲率計算器，滿足您所有的曲線分析需求！