辛普森法則計算器

分類：微積分
- 2025年08月08日
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使用辛普森法則數值計算定積分。此計算器通過在等距點之間擬合拋物線弧來近似指定區間內函數的積分。

積分參數

使用 x 作為變數。數學函數：sin, cos, tan, log, sqrt 等。
必須是偶數以符合辛普森法則

可視化選項

理解辛普森法則

辛普森法則是一種數值近似方法，用於計算定積分。它使用二次多項式來近似函數，提供比簡單方法（如梯形法則）更好的準確性。

公式
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

其中：

  • h = (b - a) / n 是每個子區間的寬度
  • n 是子區間的數量（必須是偶數）
  • xi = a + i·h 是均勻分佈的點
誤差項

辛普森法則的誤差項為 O(h5)，這意味著誤差與 h4 成正比。具體來說：

\text{誤差} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

其中 f(4)(ξ) 是在 a 和 b 之間某點 ξ 的四次導數。

與其他方法的比較
  • 中點法：誤差為 O(h3)，準確度低於辛普森法則
  • 梯形法：誤差為 O(h3)，準確度低於辛普森法則
  • 辛普森 3/8 法則：與辛普森法則相似的準確度
  • 高斯求積：對某些函數類別更準確

免責聲明：此計算器提供的數值近似可能包含誤差，特別是對於具有奇異性或快速振盪的函數。重要結果請務必使用其他方法或解析解進行驗證。

什麼是辛普森法則計算器？

辛普森法則計算器是一個互動工具，用於估算定積分的值。這個計算器使用可靠的數值方法來近似曲線下的面積，稱為辛普森法則，而不是手動解決複雜的積分。它對於那些難以或無法進行解析積分的函數特別有用。

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

這種方法將區間劃分為偶數個部分，並通過函數圖上的點擬合拋物線。它提供的準確度優於梯形法則或中點法則。

為什麼使用它？

無論你是學生、教師、工程師還是好奇的學習者，辛普森法則計算器都能幫助你：

  • 快速估算定積分
  • 可視化曲線下的面積是如何被近似的
  • 理解改變區間數量的影響
  • 執行誤差分析並查看收斂行為

它還可以補充其他工具，如積分計算器用於解決定積分或不定積分，以及反導數計算器用於尋找反導數。如果你正在處理多變量函數，請查看偏導數計算器以計算偏導數或分析多變量微分。

如何使用計算器

按照以下簡單步驟獲得你的定積分的準確近似值：

  1. 在輸入框中輸入你想要積分的函數（使用x作為變量）。
  2. 設置積分區間的下限和上限。
  3. 選擇區間的數量（必須是偶數）。
  4. 可選擇啟用函數繪圖和近似視覺效果。
  5. 點擊"計算積分"以查看結果、圖形和詳細分解。

你可以隨時使用“重置”按鈕重置計算器。

常見使用案例

使用辛普森法則計算器來：

  • 當確切的積分難以計算時，近似曲線下的面積
  • 將數值結果與積分求解器的確切解進行比較
  • 通過增加區間來分析收斂性
  • 獲得不同區間數量下的誤差行為的見解

它對於檢查工作或補充來自多變量分析中的二次導數計算器或方向導數計算器的結果特別方便。

常見問題

問：我可以輸入什麼樣的函數？
任何使用x作為變量的函數。常見的表達式包括多項式、三角函數、指數和對數。例如：x^2 + sin(x)。

問：為什麼區間數量必須是偶數？
辛普森法則依賴於在成對的區間之間擬合拋物線。奇數的區間會打破這種配對。

問：這種方法的準確性如何？
辛普森法則對於光滑函數的準確性很高，並且隨著區間數量的增加而提高。計算器還顯示誤差和收斂信息。

問：如果我的函數在某些點上未定義怎麼辦？
避免在區間內有奇點或不連續的函數。這些可能會導致不準確的結果或評估錯誤。

最後的想法

這個計算器是學習微積分和解決涉及積分的現實問題的有用伴侶。它是更廣泛的數學工具套件的一部分，如導數計算器、反導數計算器和極限計算器，簡化了學習和應用高級數學概念的過程。