二次回歸計算器

分類：統計學
- 2025年06月16日
| |

為一組數據點尋找最佳擬合的二次方程式 (y = ax² + bx + c)。此計算器執行回歸分析，以找到最小化平方殘差總和的曲線。

數據輸入

數據點：
X
Y
1
2
3

計算選項

理解二次回歸

二次回歸為一組數據點尋找最佳擬合的拋物線（二次多項式）。方程式的形式為：

y = ax² + bx + c

其中 a、b 和 c 是通過最小化觀察值和預測值之間的平方差總和來確定的常數。

何時使用二次回歸
  • 當數據顯示明顯的曲線趨勢（有一個彎曲）
  • 用於建模具有加速或減速的現象
  • 當線性回歸無法充分擬合數據時
  • 用於拋體運動、簡諧運動或二次增長/衰減
解釋係數
  • a: 控制拋物線的曲率。如果 a > 0，拋物線向上開口；如果 a < 0，則向下開口。
  • b: 影響拋物線的水平位置和 x = 0 時的斜率。
  • c: y 截距，曲線穿過 y 軸的地方（當 x = 0 時）。
決定係數 (R²)
  • 衡量模型解釋數據變異的程度
  • 範圍從 0 到 1，其中 1 表示完美擬合
  • 計算公式為：R² = 1 - (平方殘差總和) / (平方和總和)
  • 較高的值表示模型對數據的擬合更好

免責聲明：此計算器執行二次回歸分析，僅供教育和資訊用途。預測的準確性取決於數據的質量和適用性。高 R² 值不一定表示變數之間存在因果關係。

二次回歸公式：
y = ax² + bx + c

什麼是二次回歸計算器？

二次回歸計算器是一個使用者友好的統計分析工具，幫助您為給定的一組數據點找到最佳擬合的二次方程。當您的數據呈現曲線模式，而直線無法有效表示時，這特別有用。

它通過應用一種稱為二次回歸的數學過程來工作，該過程找到最適合您數據的拋物線（第二級多項式）的方程。在物理學、經濟學和生物學等許多領域中，這是非常有價值的，因為加速度或曲線增長趨勢等模式很常見。

如何使用計算器

您可以使用三種方法之一來分析數據：

  • 手動輸入：直接輸入您的 X 和 Y 數據點。
  • 粘貼數據：從電子表格或 CSV 文件中複製並粘貼數據。
  • 樣本數據：從預設範例中選擇，如拋體運動或溫度趨勢。

輸入數據後：

  • 選擇是否強制曲線通過原點（c = 0）。
  • 選擇結果所需的小數位數。
  • 可選地輸入一個 X 值，以根據擬合方程預測相應的 Y 值。
  • 點擊 "計算二次回歸" 以查看結果。

主要特點和好處

  • 使用方程 y = ax² + bx + c 將曲線模型擬合到您的數據。
  • 顯示回歸方程和係數（a、b、c）。
  • 計算性能指標，如 R²（決定係數）和標準誤差。
  • 使用擬合曲線預測任何給定 X 的 Y 值。
  • 提供清晰的圖表和詳細的表格，顯示觀察值與預測值。
  • 提供回歸計算的逐步分解（可選視圖）。

為什麼使用這個計算器？

當您的數據顯示曲線或 U 形模式時，這個數據分析助手是理想的選擇，例如：

  • 拋體運動或物理軌跡
  • 隨時間變化的價格趨勢
  • 人口或投資的增長和衰退模式
  • 天氣或溫度波動

與擬合直線的線性回歸工具不同，這個計算器捕捉數據中的轉折點和曲率，提供更深入的數據洞察和更準確的建模。

常見問題 (FAQ)

二次回歸用於什麼？

當數據趨勢顯示曲率時，使用二次回歸。它有助於為涉及加速度、減速或拋物線行為的情況創建模型。

係數 a、b 和 c 代表什麼？

  • a：控制曲線的寬度或狹窄程度，以及它是向上還是向下開口。
  • b：影響曲線的傾斜度和位置。
  • c：指示曲線與 Y 軸的交點。

什麼是 R²，為什麼它很重要？

R²（決定係數）衡量方程與您的數據的擬合程度。值越接近 1，表示模型對數據變化的解釋越好。

我可以用這個進行預測嗎？

可以。在計算回歸後，輸入一個 X 值以根據模型獲得相應的預測 Y 值。

這與線性回歸計算器有什麼不同？

雖然線性回歸計算器找到最佳的直線擬合，但這個工具擬合的是曲線。當您的數據形成拋物線而不是直線時，請使用它。

這個計算器如何幫助您

這個計算器是用於分析數據的更廣泛統計工具集的一部分。無論您是在使用統計計算器、標準差工具，還是想了解數據變異性，這個二次回歸工具為您的數據分析工作增添了強大的曲線擬合能力。

它補充了其他統計計算資源，如 線性回歸計算器、平均數、中位數、眾數計算器 和 標準差計算器，使解釋趨勢、識別異常值和做出明智預測變得更容易。