雙曲線計算器

分類：代數 II
- 2025年4月2日
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雙曲線計算器

使用 ² 表示平方項或 ^2。中心點可以指定為 (x-2)² 或 (y+3)²
為了更好地查看圖形，請將您的設備旋轉至橫向模式。

什麼是雙曲線？

雙曲線是一種由雙圓錐與平面交叉形成的曲線。與圓或橢圓等其他圓錐曲線不同，雙曲線由兩個不同的分支組成。這些分支彼此對稱，並且圍繞雙曲線的中心具有對稱性。

雙曲線的一般方程式為：

水平雙曲線：\( \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)
垂直雙曲線：\( \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \)

這裡：

  • \( (h, k) \) 代表雙曲線的中心。
  • \( a \) 是從中心到頂點的距離（沿著橫軸）。
  • \( b \) 是從中心到共頂點的距離（沿著共軸）。

關於雙曲線計算器

雙曲線計算器幫助您根據其方程式解決和可視化雙曲線。無論您是在學習圓錐曲線還是需要快速繪圖和分析的工具，這個計算器通過提供準確的解決方案和圖形來簡化您的工作，適用於水平和垂直雙曲線。

主要特點

  • 預定義範例：從內建的水平和垂直雙曲線範例中選擇。
  • 自定義方程式：輸入您自己的雙曲線方程式進行計算。
  • 動態可視化：自動生成圖形以顯示雙曲線。
  • 關鍵參數：即時查看中心、頂點、焦點和軸長等值。
  • 逐步解決方案：詳細步驟解釋每個計算是如何進行的。

如何使用雙曲線計算器

  1. 選擇範例：使用下拉選單選擇預載的水平或垂直雙曲線範例。
  2. 輸入自定義方程式：或者，輸入您自己的雙曲線方程式的標準形式（例如，\( x^2/9 - y^2/16 = 1 \)）。
  3. 查看結果：點擊計算按鈕以查看關鍵點，例如：
    • 中心
    • 頂點
    • 焦點
    • 橫軸和共軸的長度
  4. 繪製雙曲線：計算器將顯示雙曲線的圖形，包括其漸近線。
  5. 清除：使用清除按鈕重置計算器並重新開始。

理解結果

一旦您計算出雙曲線，將顯示以下關鍵元素：

  • 中心 (\( h, k \))：雙曲線對稱的中點。
  • 頂點：在距離中心 \( a \) 的橫軸上的點。
  • 共頂點：在距離中心 \( b \) 的共軸上的點。
  • 焦點：位於距離中心 \( c \) 的點，其中 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
  • 漸近線：雙曲線接近但永遠不會觸及的直線。

圖形可視化

計算器生成雙曲線的互動圖形，包括：

  • 雙曲線的分支。
  • 供參考的漸近線。
  • 關鍵點，如頂點、共頂點和焦點。

這個視覺輔助工具幫助您理解雙曲線的行為以及其關鍵組件如何與方程式相關。

常見問題 (FAQ)

水平雙曲線和垂直雙曲線有什麼區別？

在水平雙曲線中，橫軸是水平的，方程式為 \( \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)。在垂直雙曲線中，橫軸是垂直的，方程式為 \( \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \)。

雙曲線中的漸近線是什麼？

漸近線是雙曲線在分支無限延伸時接近的直線。對於水平雙曲線，漸近線為 \( y = \pm \frac{b}{a}(x-h) + k \)，而對於垂直雙曲線，漸近線為 \( y = \pm \frac{a}{b}(x-h) + k \)。

我如何找到雙曲線的焦點？

焦點位於距離中心 \( c \) 的位置，其中 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。對於水平雙曲線，焦點位於 \( (h-c, k) \) 和 \( (h+c, k) \)。對於垂直雙曲線，焦點位於 \( (h, k-c) \) 和 \( (h, k+c) \)。

我可以輸入自定義方程式嗎？

是的，您可以以標準形式輸入自己的雙曲線方程式。計算器將解析方程式，識別關鍵組件，並為您生成結果和圖形。

為什麼使用雙曲線計算器？

這個工具通過自動化複雜的計算並提供清晰的視覺結果，簡化了分析雙曲線的過程。無論您是學生、教師還是專業人士，雙曲線計算器都能節省時間並確保在處理雙曲線時的準確性。