複數計算器

分類：代數 II
- 2025年4月2日
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執行兩個複數的加法、減法、乘法或除法運算。

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什麼是複數？

複數是由兩個部分組成的數字：

  • 實部：以常規數字表示（例如，3）。
  • 虛部：以乘以i的數字表示，其中i是-1的平方根。

複數的寫法為：

a + bi

其中：

  • a是實部。
  • b是虛部的係數。

例如：

  • 2 + 3i是一個複數。
  • 5 + 0i是一個實數（沒有虛部）。
  • 0 + 4i是一個純虛數。

複數的應用

複數在各個領域中都有應用：

  • 工程：電路分析、信號處理。
  • 數學：解二次方程、分形。
  • 物理：表示波和振動。

複數計算器的特點

  • 基本算術：執行兩個複數的加法、減法、乘法和除法。
  • 共軛計算：找到一個複數的共軛。
  • 模：計算複數的大小。
  • 極坐標轉換：以極坐標表示複數。
  • 倒數：計算複數的倒數。
  • 逐步解釋：查看每個計算的詳細步驟。

如何使用複數計算器

步驟 1：輸入複數

  • 在標記為複數 1的欄位中輸入第一個複數的實部和虛部。
  • 在標記為複數 2的欄位中輸入第二個複數的實部和虛部。

步驟 2：選擇操作

  • 從下拉菜單中選擇一個操作：
    • 加法 (+)：將兩個複數相加。
    • 減法 (-)：從第一個複數中減去第二個複數。
    • 乘法 (*)：使用 FOIL 方法將兩個複數相乘。
    • 除法 (/)：將第一個複數除以第二個複數。
    • 共軛：找到第一個複數的共軛。
    • 模：計算第一個複數的大小。
    • 極坐標：將第一個複數轉換為極坐標。
    • 倒數：計算第一個複數的倒數。

步驟 3：點擊「計算」

  • 按下「計算」按鈕以執行計算。計算器將：
    • 在結果區域顯示結果。
    • 提供每個計算步驟的詳細分解。

步驟 4：清除欄位

  • 按下「清除」按鈕以重置所有欄位並開始新的計算。

示例計算

示例 1：加法

輸入：

  • 複數 1：2 + 3i
  • 複數 2：4 + 5i
  • 操作：加法

計算：

(2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i

輸出：

  • 結果：6 + 8i

示例 2：極坐標形式

輸入：

  • 複數：2 + 3i
  • 操作：極坐標形式

計算：

r = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) ≈ 3.61

θ = tan-1(3/2) ≈ 0.98 弧度

極坐標形式 = 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

輸出：

  • 結果：3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

常見問題 (FAQ)

複數的 FOIL 方法是什麼？

FOIL 方法代表：

  • F：乘以第一項。
  • O：乘以外部項。
  • I：乘以內部項。
  • L：乘以最後一項。

對於兩個複數(a + bi)和(c + di)，FOIL 簡化乘法為：

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

由於i^2 = -1，結果變為：

(ac - bd) + (ad + bc)i

如何計算複數的模？

複數a + bi的模（或大小）為：

|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)

它表示複數在複平面上距離原點的距離。

複數的共軛是什麼？

複數a + bi的共軛是a - bi。它是通過翻轉虛部的符號來獲得的。

複數的極坐標形式是什麼？

複數a + bi的極坐標形式為：

r(cos θ + i sin θ)

其中：

  • r = sqrt(a^2 + b^2)（模）
  • θ = tan-1(b/a)（弧度角）

我可以用複數除以零嗎？

不可以，對於實數和複數，除以零是未定義的。如果第二個複數是0 + 0i，計算器將顯示錯誤。

複數計算器的好處

  • 教育性：將每個操作分解為易於遵循的步驟。
  • 準確性：精確處理複數算術。
  • 多功能性：包括極坐標形式和模計算等高級操作。
  • 用戶友好：簡單的界面便於快速計算。

這款計算器非常適合學生、工程師以及任何使用複數的人！