複數轉極座標計算器

分類：代數 II

- 2025年4月2日

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輸入複數：

+ i

什麼是極坐標形式的複數？

複數是一種同時具有實部和虛部的數字，通常寫成形式 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 是實部，\( b \) 是虛部，\( i \) 代表虛數單位（\( i^2 = -1 \)）。將複數轉換為極坐標形式涉及以其大小（\( r \)）和角度（\( \theta \)）來表示：

\[ z = r (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \]

這裡：

極坐標形式在複數的乘法、除法和指數運算中特別有用。

這個計算器簡化了將複數從矩形形式（\( a + bi \)）轉換為極坐標形式（\( r (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \)）的過程。它計算大小（\( r \)）和角度（\( \theta \)），並提供逐步解釋。此外，它在複平面上可視化複數，以增強理解。

按照以下步驟使用計算器：

輸入複數：
- 將實部輸入到第一個欄位（例如，3）。
- 將虛部輸入到第二個欄位（例如，4）。
點擊「轉換」： 計算器將處理輸入並顯示：
- 大小（\( r \)）。
- 角度（\( \theta \)）以弧度和度數表示。
- 極坐標形式表示（\( r (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \)）。
- 指數形式表示（\( r e^{i\theta} \)）。
檢查步驟： 計算器提供有關如何計算大小和角度的詳細逐步解釋。
可視化複數： 計算器在複平面上繪製複數，以便更好地理解。
點擊「清除」： 要重置欄位和結果，請點擊「清除」按鈕。

複數轉極坐標形式計算器提供以下功能：

假設您輸入的複數為：

計算器將：

計算大小（\( r \)）： \[ r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]
確定角度（\( \theta \)）以弧度表示： \[ \theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.93 \, \text{弧度} \]
將角度轉換為度數（可選）： \[ \theta = 0.93 \, \text{弧度} \times \frac{180}{\pi} \approx 53.13^\circ \]
顯示極坐標形式： \[ z = 5 (\cos(0.93) + i \sin(0.93)) \]
顯示指數形式： \[ z = 5 e^{i0.93} \]
在複平面上繪製複數。

複數的極坐標形式是什麼？ 極坐標形式以其大小（\( r \)）和角度（\( \theta \)）表示複數：\( z = r (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \)。
什麼是指數形式？ 複數的指數形式是 \( z = r e^{i\theta} \)，這是從歐拉公式推導而來的。
為什麼極坐標形式有用？ 極坐標形式簡化了複數的乘法、除法和指數運算。
如果實部或虛部為零會發生什麼？ 如果實部或虛部為零，角度（\( \theta \)）會相應調整（例如，如果數字位於虛軸上，則 \( \theta = 90^\circ \)）。
我可以輸入負值嗎？ 是的，計算器可以處理實部和虛部的正值和負值。
如果我輸入無效數字會怎樣？ 計算器會顯示錯誤信息，並提示您輸入有效數字。

這個計算器消除了手動計算的需要，節省了時間和精力。它確保在找到複數的極坐標和指數形式時的準確性，同時提供每一步的清晰解釋。無論您是學生、教師還是專業人士，這個工具都簡化了複數計算，並增強了對其幾何表示的理解。