單純形法計算器

分類：代數與一般數學
- 2025年4月4日
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結果

最佳解：

最終表格：

計算步驟：

圖形表示：

什麼是單純形法？

單純形法是一種用於解決線性規劃問題的數學算法。這是一種強大的技術，用於優化線性目標函數，並滿足一組線性不等式或等式約束。該方法通過在可行區域的頂點之間迭代可行解，直到達到目標函數的最佳值，從而找到最優解。

線性規劃問題通常出現在資源分配、生產排程、運輸和金融等現實場景中。單純形法提供了一種系統的方法來高效地解決這些問題。

單純形法計算器的特點

  • 允許用戶輸入線性目標函數（例如，3x_1 + 4x_2）。
  • 支持不等式和等式約束，選項包括 ≤、= 和 ≥。
  • 使用戶能夠選擇最大化或最小化目標。
  • 提供兩種解決方法：大 M 方法和兩階段方法。
  • 顯示逐步計算，包括中間表格和最終表格。
  • 可視化可行區域和 2D 問題的最優解。

如何使用單純形法計算器

  1. 在提供的字段中輸入目標函數（例如，3x_1 + 4x_2）。
  2. 通過勾選或取消勾選“最大化？”框來指定問題是最大化還是最小化問題。
  3. 以線性不等式或等式的形式輸入約束。例如：
    • 2x_1 + x_2 ≤ 100
    • x_1 + 2x_2 = 80
    使用“+ 添加約束”按鈕添加其他約束。
  4. 從下拉菜單中選擇解決方法（大 M 方法或兩階段方法）。
  5. 點擊“計算”以解決問題。結果，包括最優解、最終表格和可視化，將顯示出來。
  6. 如果您希望重置字段並重新開始，請點擊“清除”按鈕。

示例用法

目標：最大化 \(3x_1 + 4x_2\)

約束：

  • \(2x_1 + x_2 ≤ 100\)
  • \(x_1 + 2x_2 ≤ 80\)
  • \(x_1, x_2 ≥ 0\)

步驟：

  • 通過添加鬆弛變量 \(s_1\) 和 \(s_2\) 將不等式轉換為等式。
  • 設置初始單純形表格，包含變量和約束的係數。
  • 通過樞紐操作迭代解決表格，直到達到最優解。
  • 最終解將顯示，並顯示目標函數的最大值。

結果： \(x_1 = 20\)，\(x_2 = 30\)，最大值為 \(180\)。

常見問題

  • 什麼是線性規劃？
    線性規劃是一種數學方法，用於確定在給定的數學模型中（關係為線性）最佳可能結果（例如最大利潤或最小成本）。
  • 什麼是大 M 方法和兩階段方法？
    大 M 方法通過添加帶有大懲罰（表示為 \(M\)）的人工變量來確保可行性，而兩階段方法則分兩個階段解決問題：首先找到可行解，然後優化目標函數。
  • “最大化”復選框的作用是什麼？
    勾選此框將問題作為最大化問題解決。如果不勾選，計算器將假設為最小化問題。
  • 計算器能處理非線性問題嗎？
    不，計算器專門設計用於線性規劃問題，其中目標函數和約束都是線性的。
  • 如果問題是無界的會發生什麼？
    如果解是無界的，計算器將顯示一條消息，指示該問題沒有有限的最優解。

使用單純形法計算器的好處

  • 通過自動化繁瑣的手動計算來節省時間。
  • 提供逐步分解，使其成為學生的寶貴學習工具。
  • 可視化可行區域和解決方案，以便更好地理解。
  • 高效處理具有多個約束和變量的複雜問題。