拋射運動計算器

關鍵概念：

• 拋物線軌跡：在沒有空氣阻力的情況下，拋體的路徑是一條拋物線。
• 獨立運動：運動的水平和垂直分量彼此獨立。
• 恆定水平速度：在沒有空氣阻力的情況下，水平速度在整個運動過程中保持恆定。
• 恆定垂直加速度：垂直運動在重力 (g) 的作用下具有恆定加速度。
• 空氣阻力：實際上，空氣阻力會影響軌跡，使其變得非拋物線。

基本拋體運動方程式（不考慮空氣阻力）：

水平位置：\(x = v_0 \cos(\theta) \cdot t\)

垂直位置：\(y = h_0 + v_0 \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2}gt^2\)

水平速度：\(v_x = v_0 \cos(\theta)\) (恆定)

垂直速度：\(v_y = v_0 \sin(\theta) - gt\)

其中：

• \(v_0\) 是初始速度
• \(\theta\) 是發射角度
• \(h_0\) 是初始高度
• \(g\) 是重力加速度
• \(t\) 是時間

關鍵推導方程式：

飛行時間（從地面開始）：\(t_{flight} = \frac{2v_0\sin(\theta)}{g}\)

最大高度：\(h_{max} = h_0 + \frac{v_0^2\sin^2(\theta)}{2g}\)

水平射程（從地面開始）：\(R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}\)

達到最大高度的時間：\(t_{max} = \frac{v_0\sin(\theta)}{g}\)

空氣阻力考量：

當考慮空氣阻力時，方程式變得更加複雜，通常需要數值方法來解決。阻力通常被建模為：

\(F_d = \frac{1}{2} \rho C_d A v^2\)

其中：

• \(\rho\) 是空氣密度
• \(C_d\) 是阻力係數
• \(A\) 是橫截面積
• \(v\) 是速度

拋體運動的應用：

• 運動：籃球、足球、高爾夫、標槍投擲等。
• 軍事：彈道學、火炮、導彈軌跡。
• 工程：設計噴泉、發射機構。
• 太空探索：火箭發射、重返地球的軌跡。
• 物理教育：牛頓定律的基本演示。