函數合成計算器

分類：代數與一般數學
- 2025年09月05日
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使用這個互動工具計算和可視化函數組合。輸入函數，按您希望的順序組合它們，並對特定輸入值評估結果。

函數定義

f(x) =
g(x) =
h(x) =

組合設置

組合： (f ∘ g)(x) = f(g(x))
g(x)
→
f(x)
=
(f ∘ g)(x)

評估

結果：
5
計算步驟：

可視化

理解函數組合

函數組合是一種數學運算，將一個函數應用於另一個函數的結果。如果 f 和 g 是函數，則組合 (f ∘ g)(x) 等同於 f(g(x))，這意味著我們首先將 g 應用於 x，然後將 f 應用於結果。

函數組合的性質
  • 不交換：一般來說，(f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x)
  • 結合性：(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)
  • 定義域限制：組合的定義域限制在兩個函數都定義的值上
  • 恆等函數：f ∘ I = I ∘ f = f，其中 I(x) = x 是恆等函數
常見例子
線性函數

如果 f(x) = 2x + 1 和 g(x) = 3x - 2，則：

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(3x - 2) = 2(3x - 2) + 1 = 6x - 4 + 1 = 6x - 3

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = 3(2x + 1) - 2 = 6x + 3 - 2 = 6x + 1

多項式與根函數

如果 f(x) = x² 和 g(x) = √x，則：

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(√x) = (√x)² = x

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = √(x²) = |x|

應用
  • 計算機圖形學：旋轉、縮放和平移等變換使用函數組合
  • 機器學習：神經網絡應用激活函數的組合
  • 物理：將複雜運動描述為簡單變換的組合
  • 經濟學：建模金融系統中的複合效應

公式參考

基本算術
+, -, *, /, ^
2*x + 3, x^2 - 1
平方根
sqrt(x)
sqrt(x+1)
三角函數
sin(x), cos(x), tan(x)
sin(x^2), 2*cos(x)
對數函數
log(x), ln(x)
log(x+1), 2*ln(x)
指數函數
exp(x)
exp(2*x), 3*exp(-x)
絕對值
abs(x)
abs(x-2)

此計算器使用數值方法評估函數組合。在某些涉及複雜函數或特定定義域限制的情況下，數值近似可能會有局限性。對於高級數學分析，建議使用專業的數學軟件。

什麼是函數合成計算器？

函數合成計算器是一個互動工具，幫助用戶組合和評估數學函數。無論你是在學習數學，還是在工程、物理或數據分析中使用公式，這個計算器簡化了你構建、理解和可視化函數合成的方式。

合成公式：

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

如何使用計算器

按照以下簡單步驟來合成和評估函數：

  • 定義函數：輸入函數的表達式，例如 f(x)、g(x) 或 h(x)，使用熟悉的語法（例如 2*x + 1、sqrt(x)）。
  • 選擇合成順序：選擇一個合成，例如 (f ∘ g)(x)，或通過拖放函數來構建自定義的合成。
  • 評估：輸入一個 x 值來計算你合成函數的最終結果。該工具會顯示逐步結果。
  • 可視化：使用圖形區域查看單個函數及其在一系列 x 值上的合成。
  • 重置或添加更多：你可以重置為默認設置或添加更多函數以進行高級合成。

為什麼使用這個計算器？

這個計算器使學習和應用函數合成變得簡單且可視化。它對以下人群特別有幫助：

  • 學習函數運算或代數的學生
  • 展示合成函數行為的教師
  • 任何需要清晰方式來評估和繪製數學表達式的人

它支持平方根、三角函數、指數運算等，類似於你在科學計算器或數學求解工具中所期待的功能。

合成示例

  • 如果 f(x) = 2x + 1 和 g(x) = x^2，則：
  • (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1
  • (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)²

有用的提示

  • 使用像 sin(x)、exp(x) 或 log(x) 的函數——就像在科學函數工具中一樣。
  • 自定義合成以進行多步運算，類似於解決矩陣變換或應用工程公式。
  • 可視化圖表可以幫助理解函數層如何影響結果，就像矩陣計算或百分比誤差步驟一樣。

常見問題

  • 什麼是函數合成？這意味著將一個函數應用於另一個函數的結果。可以將其視為一系列操作。
  • 我可以使用高級函數嗎？可以。該工具支持平方根、對數、三角函數和指數。
  • 它會顯示計算步驟嗎？當然。你將看到每一步的順序，函數是如何應用的，類似於你使用百分比誤差計算器或指數計算器的方式。
  • 我可以建立自己的函數鏈嗎？可以。使用拖放區域按你喜歡的順序排列函數。

它的幫助

這個計算器不僅僅是一個數學工具——它幫助你：

  • 理解函數行為：查看改變輸入或順序如何影響輸出。
  • 構建複雜公式：就像在對數求解器或根計算器中組合運算一樣。
  • 清晰地可視化結果：就像分數計算器幫助分解分數一樣，這個工具分解函數。

無論你是在評估百分比誤差解釋還是像矩陣代數工具一樣構建函數層，函數合成計算器都能為你提供清晰和靈活性，讓你正確地完成任務。